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文章关键词:金沙国际老平台,同余式

  小学奥数精讲:带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学奥数精讲:带余除法(同余式和同余方程)

  小学奥数精讲:带余除法(同余式和同余方程) 一、基本性质的复习 1、带余数除法算式: a÷b=q??r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该 得到: (1)br 除数大于余数 (2)a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系, 则带余数问题就可以转化为整数问题。 2、余数的性质: (1)可加性:和的余数等于余数的和。 即:两数和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 例:7÷3=2??1 5÷3=1??2, 则(7+5)÷3 的余数就等于(1+2)÷3 的余数 0。 (2)可减性:差的余数等于余数的差。 即:两数差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差。 例:17÷3=5??2 5÷3=1??2, 则(17-5)÷3 的余数就等于(2-2)÷3 的余数 0。 (3)可乘性:积的余数等于余数的积。 即:两数积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积。 例:64÷7=9??1 45÷7=6??3, 则(64×45)÷3 的余数就等于(1×3)÷7 的余数 3。 二、同余式 在生活中,若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数 m 时,余数相同该 如何表示呢?在代数中我们称之 为同余。即:a 与 b 同余于模 m。意思就是 自然数 a 和 b 关于 m 来说是余数相同的。用同余式表达为:a≡b(modm). 注:若 a 与 b 同余于模 m,则 a 与 b 的差一定被 m 整除。 (余数的可 减性) 三、例题。 例 1、当 2011 被正整数 N 除时,余数为 16,请问 N 的所有可能值有 多少个? 例 2、 (1)求多位数 11?20102011 除以 9 的余数? (2)将 1 开始到 103 的连续奇数依次写成一个多位数:a=135791113? 9799101103,则数 a 共有多少位?数 a 除以 9 的余数为几? (3)一个多位数 1234567??979899,问除以 11 的余数是多少? 例 3、 (1)用一个数除 200 余 5,除 300 余 1,除 400 余 10,求这个 数? (2) 甲、 乙、 丙、 丁四个旅行团分别有游客 69 人, 85 人、 93 人、 97 人。 现在要把这四个旅行团分别进行分组,使每组有 A 名游客,以便乘车前往参观 游览,已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组 A 人的若干组后,所剩的人数都相 同,问丁旅行团分成每组 A 人的若干组后还剩几人? (3)若 2836、4582、金沙国际唯一官网5164、6522 四个自然数都被同一个自然数相除,所 得余数相同且为两位数,则除数和余数的和是多少? 例 4、 (1)有一列数:1、3、9、25、69、189、517??,其中第一个数是 1,第二个数是 3,从第三个数起,每个数是前两个数之和的 2 倍再加 1,那 么这串数中第 2008 个数除以 6 的余数是多少? (2)70 个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的 3 倍都恰好等 于它两边两个数的和, 这一行最左边的两个数的和为:0、1、3、8、21??, 问最右边一个数除以 6 的余数是多少? 例 5、 (1)2007 年 4 月 15 日(星期日)是第 5 届小学“希望杯”全国 数学邀请赛举行的二试的日子,那么这天以后的第 2007+4×15 天是星期几? (2)算式 1×3×5×7×??×2007 计算结果的末两位数字是多少? 例 6、一个四位数是这个数的数字和的 83 倍,求这个四位数? 带余除法(同余式和同余方程)习题答案 例 1、提示:N 为 2011-16 的因数,且要大于 16.(求出其因数的个数再从中淘汰不符 合的。 )答案: 11 个。 例 2、 (1) 提示: 2011÷9=223??4,1 除以 9 的余数为 1 。答案: 1。 (2)提示:一位数 5 个,两位数 45 个,三位数 2 个,则位数可求。答案: 101 位。 103 是第 52 个数, 连续 9 个数的和是 9 的倍数, 52÷9=5??7, 补两个数应该是整除的, 但 105107 除以 9 余 5, 则 a 除以 9 余 4。答案:余 4。 (3) 提示:奇数位之和减去偶数位之和。奇数位之和: 9 ×( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+0 ) +9+7+5+3+1=430 ; 偶数位之和: 10×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0 )+8+6+4+2=470 ;430≡ 1 (mod11)470≡8(mod11) 1+11-8=4 答案:4 例 3、(1)提示:减去余数是整除的,找减去余数以后的公因数。答案:13。 (2) 提示:根据甲、乙、丙分成 A 人一组后余数相同可求出 A 的值,则可求出丁组除 以 A 的余数。答案:A=8 或 4 或 2,最后丁组剩 1 人。 (3) 提示:余数相同可让四个数两两做差找公因数确定除数,再根据余数为两位数选出 符合要求的除数。答案:5164-4582=582, 6522-5164=1358, ( 1358,582 ) =194=2 × 97 除数为 2 的话, 余数达不到两位数。 除数为 194 的线 位 数,不符。 除数与余数的和为:97+23=120 例 4、(1) 提示:找出每个数除以 6 的余数规律即可。3 个一循环。答案:1。 (2) 提示:找出每个数除以 6 的余数规律即可。12 个一循环。答案:4。 例 5、 (1)提示:基本性质的应用,可先求出余数在用余数进行运算。 答案:2007+4 ×15≡5+4×1≡9≡2(mod7)所以是星期二。 (2)提示:首先个位肯定是奇数,其次末两位实际上是考察的除以 4 或 25 的余数, 这个乘积肯定是 25 的倍数, 因为个位是奇数, 所以末两位只能是 25 或 75, 再看除以 4 的 余数分别为 1、

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