金沙国际唯一官网若它们除以整数m所得的余数相等

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文章关键词:金沙国际老平台,同余式

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  数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

  数学上,两个整数除以同一个整数,若得相同余数,则二整数同余(英文:Modular arithmetic,德文:Kongruenz)。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分,是研究整数问题的重要工具之一,利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。

  公元972年,在一份阿拉伯手稿中,提出了这样一个问题:一个正整数n何时能成为一个一个由三个有理平方数形成的等差数列的公差,也就是说x-n,x,x+n都是平方数。十三世纪,意大利数学家斐波那契指出5和7是同余数,他也猜想1、2、3不是同余数,但未能给出证明。直到1659年,法国大数学家费尔马运用他自己发明的无穷下降法证明了1、2、3不是同余数。十八世纪,大数学家欧拉首次证明了7是同余数。1952年,

  证明了任意模8余5、7的素数和任意模4余3的素数的两倍均为同余数。2000年,美国克雷数学研究所公布了千禧年七大数学难题,每破解其中一个难题者将获得100万美元的奖金。其中就有著名的BSD猜想(全称Birch and Swinnerton-Dyer猜想),而这个猜想与同余数问题有紧密的联系。2012年,田野证明了存在无穷多个具有任意指定素因子个数的同余数,这是在同余数问题上的一个根本性突破,也首次给出了解决BSD猜想的线]

  两个整数a、b,若它们除以整数m所得的余数相等,金沙国际唯一官网则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。

  读作:a同余于b模m,或读作a与b对模m同余,例如26≡2(mod 12)。

  设m是大于1的正整数,a、b是整数,如果m(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余。

  3.传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m);

  5.同余式相乘:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则ac≡bd(mod m)。

  6.线性运算:如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m),那么

  (2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)

  也是(1)的解,因此(1)的不同解是指满足(1)的模 m互不同余的数。对于一次同余式

  在中国古代《孙子算经》中,对某些具体的一次同余式组已有解法,把这一解法加以推广,就是著名的孙子剩余定理:设m

  ,则同余式组(2)的解是。式中,孙子剩余定理又被称之为中国剩余定理,是数论中一个重要的定理,除了数论本身,数学的许多其他分支以及一些应用学科都要用到它。例如,设

  的求解问题,于是就只需要研究(1)中m是素数方幂的情形了。又如,可将0≤

  素数为模的同余式关于素数为模的同余式,1770年,J.-L.拉格朗日证明了如下定理:设

  (重解也计算在内)。人们称之为拉格朗日定理。由此立即可以得威尔森定理:如果

  ),这就证明了威尔森定理。威尔森定理的逆定理也是成立的,可用反证法简单证出。用拉格朗日定理还可证明:当

  ≥5是一个素数时,则有同余。这个定理是1862年,由J.沃斯顿霍姆证明的。

  也有类似的结果。1973年,P.德利涅证明了韦伊猜想。他的杰出工作获得了1978年的国际数学家会议的费尔兹奖。

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