第一个金沙国际老平台层次是不动点的存在性问题

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文章关键词:金沙国际老平台,同伦类

  【拓扑不动点类理论是由中国拓扑开山鼻祖-江泽涵先生介绍到中国。金沙国际老平台近些年来,其弟子姜伯驹先生及其团队取得了丰硕的成果,金沙国际老平台一直引领国际潮流。我们向中国拓扑学的前辈们致敬!】

  求解方程一直是数学发展的一个源动力,通常求解方程等价于求算子的不动点。如果算子的作用域的拓扑比较复杂,并且算子有扰动,不动点的行为分析就非常有挑战性。关于不动点有三个层次的问题,深刻程度有所差异,所使用的工具也截然不同。第一个层次是不动点的存在性问题,其解答是莱夫希茨(Lefschetz)理论,所用工具是同调论(请看前面有关讨论【大数据拓扑分析的基础-同调理论】);第二个层次是不动点几何个数的下界,其答案是尼尔森(Nielsen)理论,所用工具是同伦论(请看前面有关讨论【庞加莱的洞察-同伦群的概念】);第三个层次是下界是否可以达到,所用工具已经超出代数拓扑,而是瑟斯顿的曲面自映射分类理论,属于几何拓扑,与微分几何和共形几何紧密相连。

  当然,最后还有一个层次,那就是不动点的计算问题。虽然理论日臻成熟,算法方面几乎一片空白。我们期待在不久的将来,依随科技的进一步发展,工程或医疗领域对曲面自同胚的不动点计算提出迫切要求,那么这个领域将会一日千里。

  这个数被称为是映射的莱夫希茨数(Lefschetz number)。莱夫希茨数非零,则映射存在不动点,亦即莱夫希茨数非零是不动点存在的充分条件。

  莱夫希茨数的计算依赖于三角剖分,实际中无法直接施行。莱夫希茨数的贡献在于他洞察到莱夫希茨数的计算独立于三角剖分的选取,只需要用到同调群即可。我们观察链空间的直和分解:

  莱夫希茨理论只给出了所有不动点的总代数指数和,但是当映射进行同伦变换的时候,不同的不动点可能合并或分离。我们下面给出一个实例。

  那么,在映射同伦变换下,什么样的不动点能够彼此靠近,合并并湮灭?什么样的不动点无法融合?尼尔森理论对此给出了回答。本质上,

  尼尔森理论是基于同伦论的,特别是万有覆盖空间理论(请看以前讨论【高瞻远瞩-万有覆盖】)。这再一次验证了我们以前提到的观点:同调论舍弃的信息过多,结论比较粗糙;同伦论保留了更多的信息,从而可以更好地反映精细的结构。

  不动点达到下界下一个的问题自然是什么时候,自映射不动点的几何个数达到下界,等于尼尔森数。1942年,Wecken证明:如果流形M的维数大于等于3,那么自映射不动点的几何个数等于尼尔森数。因此,曲面情形成为悬而未决的问题关键。

  瑟斯顿的理论属于几何拓扑领域,对于曲面同胚的分析和理解远比同调同伦理论透彻细致。在未来的讨论中,我们会进一步详细介绍瑟斯顿的工作。

  目前有关计算尼尔森数乃至曲面自映射的不动点的算法程序还没有出现。如何表示复杂拓扑曲面间的映射,如何为曲面配上合适的黎曼度量,如何在映射同伦类中找到合适的代表,如何计算不动点的指标,这些都对目前的计算数学提出了强有力的挑战。但是另一方面,目前似乎还没有为这套理论找到合适的应用。我们相信,不久的将来,依随科技的发展,复杂流形的不动点计算必然会成为关键技术,在工程和医疗领域大显身手。

  不动点类理论的发展历史完美地展现了人类探索自然的历程,从同调到同伦,再到瑟斯顿理论,从肤浅到深刻,从粗略到精细,从片面到全面。下一步的挑战是如何将完美的理论付诸实现,设计高效和实用的算法,从认识自然到改造自然。

  【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家,应用数学家,理论物理学家和计算机科学家,讲授现代拓扑和几何的理论,算法和应用。

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